第三章空间向量与立体几何栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何空间向量的概念及运算1．空间向量的线性运算包括：加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式ab＝abcos〈a，b〉及是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何已知正方体ABCD-A[解析]由题知AE栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何已知a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)．栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何2－3x＋5y＝0，－3＋x－4y＝0，x＝－1，y＝－1，p＝(1，－1，－1)．栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何空间向量与线面位置关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何如图所示，已知PA平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，米乐 M6M，N分别为AB，PC的中点．求证：(1)MN平面PAD；(2)平面PMC平面PDC.栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何[证明](1)法一：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA＝AD＝a，AB＝b，则有，P(0，0，a)，A(0,0,0)，分别为AB，PC的中点，又MN平面PAD，MN平面PAD.栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何法二：易知AB为平面PAD的一个法向量．AB设平面PMC的一个法向量为n栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何＝(2a，－b，b)．设平面PDC的一个法向量为n平面PMC平面PDC.栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何空间向量与空间角利用空间向量只要求出直线的方向向量和平面的法向量即可求解．(1)若两条异面直线的方向向量分别为a，b，所成角为θ，则cosθ＝cos〈a，b〉.(2)直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，直线与平面θ＝cos〈u，n〉.(3)二面角的平面角为θ,两个半平面的法向量分别为n〉,根据情况确定．栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何(2013高考课标全国卷)如图，三棱柱ABC-A中，CA＝CB，AB＝AA＝60.(1)证明ABA因为CA＝CB，所以OCAB.由于AB＝AA＝60，故AAB为等边三角形，所以OAAB.因为OCOA栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何(2)由(1)知，OCAB，OAAB，又平面ABC平面AA，交线为AB，所以OC平面AA的方向为x轴的正方向，OA位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz则有A(1,0,0)，A3，0)，C(0,0，＝(－1，3，0)，A栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何可取n＝(3，1，－1)．故cos〈n，A栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何利用空间向量解决存在性问题存在性问题即在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何(2012高考福建卷节选)如图，在长方体ABCD-A＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：BAE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何(1)证明：以A为原点，AB轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0,0,0)，(a，0,1)，故AD栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何(2)假设在棱AAAE，nABax＋z＝0，ax栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何AE的一个法向量AE，存在点P，满足DP平面B栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何1．已知直线解析：栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何2.(2014黄冈中学单元检测)如图所示，在几何体A-BCD中，AB平面BCD，BCCD，且AB＝BC＝1，CD＝2，为CD中点，则AE栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何解析：cos〈a，b〉＝55115511栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何4．已知S是ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BD栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何5．设点C(2a－1，a＋1,3)在点P(2,0,0)，A(1，－3,2)，B(8，－1,4)确定的平面上，求实数a的值．解：PA＝(2a－3，a＋1,3)，根据共面向量定理，可设PC2a－3＝－x＋6y，a＋1＝－3x－y，3＝2x＋4y，栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何6．在棱长为2的正方体ABCD-A的中点．(1)求证：EF平面ACD(2)求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；(3)在棱BB上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．解：如图，分别以DA、DC、DD所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，由已知得D(0,0,0)、A(2，0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、(2,2,2)、E(1,0,2)、F(0，2,1)．栏目导引栏目导引第三章空间向量与立体几何(1)证明：易知平面ACD＝(2,2,2)．EF＝(－1,2，－1)，EF＝－2＋4－2＝0，EF